Введение в векторы

Введение в векторы:

Данной статьей я хочу начать небольшой цикл по возможному использованию векторов, а также освежить Ваши знания по данному предмету. Под вектором здесь я понимаю не «векторную графику», а Вектор – в смысле НАПРАВЛЕННЫЙ ОТРЕЗОК (надеюсь, что Вы сами поймете, почему я написал «Вектор» с большой буквы). В основном мы будем рассматривать векторы на плоскости, но будут и небольшие дополнения по предмету о векторах в пространстве.
Для чего же нужны векторы вообще? Отвечаем: с помощью векторов очень удобно задавать положение тел на плоскости и в пространстве, их скорости и ускорения (т.к. они, по сути, являются векторными величинами), всевозможные силовые факторы (гравитация, силы упругости, трения и т.д.). Иными словами, с их помощью можно создавать различные механические модели. Но на этом применение векторов не ограничивается, они используются и в трехмерной графике (например, для модели освещенности поверхностей, расположенных под различными углами к источнику света).
Заинтересованы? Как же столь простая вещь, как простой отрезок, может дать нам такие возможности? Что ж, давайте начнем путешествие в мир Вектора!

Рис.1. Вектор на плоскости

Математически вектор на плоскости может быть выражен парой чисел, причем несколькими способами:
1) полярный способ задания следует из определения вектора: первое число – его длина (т.е. расстояние между концом и началом вектора), второе – угол, который он образует с некоторой осью отсчета (на рис.1 такой осью является ось Ох). Данный способ мы будем использовать крайне редко (если вообще будем);
2) более распространенным является координатный способ задания вектора:

Взаимосвязи между длиной вектора, его углом на плоскости и координатами могут быть выражены следующими зависимостями:

Как видно, зная любые две характеристика вектора, мы можем найти остальные.
Теперь рассмотрим основные операции с векторами:
1) Умножение вектора на число

Рис.2. Умножение вектора на число (k>1)

Результатом умножения вектора AB на число k (масштабирование вектора) является вектор АС с координатами:

Таким образом:
- умножение вектора на k =1  оставит вектор без изменений;
- умножение вектора на k =0 превратит его в точку;
- умножение вектора на k =(-1) изменит его направление на противоположное;
- умножение вектора на |k| >1 увеличит его длину;
- умножение вектора на |k| <1 уменьшит его длину.

2) Нормализация вектора (приведение к единичному виду) [...]